【高校数学「数Ⅲ」レベル】直感的でわかりやすいイメージで書かれた美しい解析学入門:『やさしい微積分』(L.S. ポントリャーギン)より

ロシア語の原題『中学生のための数学解析』からの全訳です。訳書では、いくつかの図と問題の解答を加えたところがあります。丁寧な説明と、直感的なイメージを疎かにしないテキストなので、一読するだけで、著者の才能を感じることができるでしょう。

L.S.ポントリャーギン

レフ・セミョーノヴィッチ・ポントリャーギン(Лев Семёнович Понтрягин、1908 – 1988)はロシアの偉大な数学者の一人です。日本でも『連続群論(上・下)』(岩波書店)、『連続群論入門』(培風館)、『ポントリャーギン 常微分方程式 新版』(共立出版)といったロングセラーでも有名ですね。

ロマノフ朝末期のモスクワに生まれ、激動のソビエト連邦時代を生き抜き、ゴルバチョフ大統領の時代に亡くなります。享年79歳。13歳のときに爆発事故で失明するものの、母親の献身的なサポートにより、数学者として大成しました。

母親は、かれの必要とする数学の論文を読んでやり、論文作成にあたっては数式を書き込む代筆を行うなど、終生「秘書」として支えました。彼女なくしてポントリャーギンの功績は残せなかったでしょう。

専門は微分幾何学になります。1925年にモスクワ大学に入学し、2年後の19歳で、アレクサンドロフの双対定理を一般化するという研究結果を発表します。

《これは,数学における20世紀最大の基本的な発見の1つである新しい分野 ―― 位相代数学における歴史的に最初の,偉大な成果といわれる理論へと発展しました.》(訳者あとがき)

このあたりはもっとくわしく解説したいところですが、専門外なのでわたしにはよくわかりません。いずれにしろ、高度に抽象的な数学理論にしても、応用数学の分野にしても、大きな業績を残された方です。

『やさしい微積分』は高校3年生のレベル

さて、『やさしい微積分』にもどります。この本のレベルは、日本でいえば高校3年生の教科書レベルです。「数学Ⅲ」の微積分と考えればよいでしょう。導関数と接線の話からはじまって、大学数学1年の前期で習う内容を、わずか160ページで扱っています。この簡潔さは美しい。

【目次】

まえがき
第1章 導関数
導関数と接線/連続関数
第2章 多項式の導関数の計算
第3章 極大値と極小値.ロルの定理とラグランジュの公式
導関数が正であることと負であること/極大値と極小値/ロルの定理/関数の有限増分についてのラグランジュの公式/第2次導関数/極大値と極小値の識別
第4章 関数の研究
変曲点
第5章 3角関数の導関数と微分のいくつかの規則
積と商の導関数/関数 tan xの導関数/合成関数の導関数/逆関数/巾関数の導関数
第6章 不定積分
第7章 定積分
有限倭の列の極限としての定積分
第8章 収束性の判定基準
収束性の公理(判定基準)
第9章 ニュートンの2項式と幾何級数の和
ニュートンの2項式/幾何級数の和
第10章 関数 e^x
関数ωn(x)の研究/|x|≦1の場合/関数 exp(x)の基本性質/数eと関数 e^x/関数 e^xの導関数
第11章 関数 log x
第12章 関数 e^xの級数展開
第13章 あとがき,極限の理論
極限の理論/連続関数
訳者あとがき
文庫版あとがき
索引

見識のある構成

第13章の「あとがき」では、解析学の初歩についての著者の考えが示されていました。

《私の考えでは,中学校での数理解析の解説を極限の理論からはじめると,そこにはまりこんでしまい,何らかの内容ある結果に達しないことになりかねません.極限の理論を学ぶことは,仮にそれが必要となれば,解析の内容ある結果を習得した後に行うべきです.このような考えから,極限の理論をあとがきだけで極めて型破りの形で,しかも非常に直感的に述べることにします.》

「本は入念に書けば書くほど薄くなり、それでけ書くための労力が大きくなる。おおざっぱに言って、著者が綿密さを2倍にすれば、本の厚さは半分になる。」と背表紙でかれの言葉が引用されています。

しかし薄い本なのに、説明が足らないということはなく、微積分のおもしろさを十分に感じることができるでしょう。ギリシャ文字などが最初は慣れないかもしれませんが、読み進むうちに高校で習った微積分がこんなにも豊かで、美しく、多彩な顔を持つ分野であることに気付かされます。

微積分の再勉強にも

わたしには数学の才能なんて微塵もありません。文系の高校生でした。当時は数学に憧れを持ちつつも全然勉強してませんから、極限の説明を聞いてもちんぷんかんぷんです。教科書や参考書にある数学の公式や定理の意味が分かったのは、大人になって数学史や海外の数学書を読むようになってからです。こういう本を知っていたら、もしかしたら理系に進んだかもしれないのですがね……。今は趣味の範囲で楽しんでいます。

子どもから大人まで満足できる数学書です。良書。

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